Cho phương trình: \(x^2-2.\left(m+1\right)x+4m=0\)
Định m để phương trình có hai nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn \(2x_1-x_2=-2\)
Cho phương trình \(x^2-2\left(m-1\right)x+4m+4=0\) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1+x_2^2=5\)
Tìm m để phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+m=0\) có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn:
a \(x_1+x_2=x_1x_2\)
b \(3\left(x_1+x_2\right)-2x_1.x_2=1\)
\(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-\left(m^2+m\right)=m^2+2m+1-m^2-m\)
\(=m+1\)
pt có nghiệm x1,x2 \(< =>m+1\ge0< =>m\ge-1\)
vi ét \(=>\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m+2\\x1x2=m^2+m\end{matrix}\right.\)
a,\(=>2m+2=m^2+m< =>m^2-m-2=0\)
\(a-b+c=0=>\left[{}\begin{matrix}m1=-1\\m2=2\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)
b,\(< =>3\left(2m+2\right)-2\left(m^2+m\right)-1=0\)
\(< =>-2m^2+4m+5=0\)
\(ac< 0\) pt có 2 nghiệm pbiet \(=>\left[{}\begin{matrix}m1=...\\m2=...\end{matrix}\right.\) thay số vào tính m1,m2 đối chiếu đk
Tìm m để phương trình \(\left(m+1\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m^2+4m-5=0\) có đúng hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(2< x_1< x_2\) .
Cho phương trình\(x^2-\left(m-2\right)x-2m=0\) (với ẩn là x)
Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm \(x_1\),\(x_2\) thỏa mãn \(2x_1+3x_2=0\)
Để phương trình có 2 nghiệm x1,x2
\(\Leftrightarrow\Delta=\left(m-2\right)^2-4\cdot\left(-2m\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m+4+8m\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Theo định lí Vi-ét:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-2\\x_1x_2=-2m\end{matrix}\right.\)
Kết hợp định lí Vi-ét và đề bài ta có điều kiện:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-2\\2x_1+3x_2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=m-2-x_2\\2\left(m-2-x_2\right)+3x_2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=m-2-x_2\\2m-4-2x_2+3x_2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=3m-6\\x_2=4-2m\end{matrix}\right.\)
Cũng theo Vi-ét:
\(x_1x_2=-2m\) \(\Rightarrow\left(3m-6\right)\left(4-2m\right)=-2m\)
\(\Rightarrow-6m^2+26m-24=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(m\in\left\{3;\dfrac{4}{3}\right\}\) thỏa mãn đề
Tick nha 😘
\(\Delta=\left(m-2\right)^2+8m=\left(m+2\right)^2\ge0;\forall m\Rightarrow\) phương trình đã cho luôn có nghiệm
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-2\\x_1x_2=-2m\end{matrix}\right.\)
Kết hợp hệ thức Viet và điều kiện đề bài ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-2\\2x_1+3x_2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_1+2x_2=2m-4\\2x_1+3x_2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=3m-6\\x_2=-2m+4\end{matrix}\right.\)
Thế vào \(x_1x_2=-2m\)
\(\Rightarrow\left(3m-6\right)\left(-2m+4\right)=-2m\)
\(\Leftrightarrow-6m^2+26m-24=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)
Tìm m để phương trình: \(3x^2+4\left(m-1\right)x+m^2-4m+1=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn: \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\)
Để pt có 2 nghiệm pb khác 0:
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4\left(m-1\right)^2-3\left(m^2-4m+1\right)>0\\x_1x_2=\dfrac{m^2-4m+1}{3}\ne0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+4m+1>0\\m^2-4m+1\ne0\end{matrix}\right.\) (1)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{4\left(m-1\right)}{3}\\x_1x_2=\dfrac{m^2-4m+1}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1+x_2=0\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{4\left(m-1\right)}{3}=0\\\dfrac{m^2-4m+1}{3}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\\m=5\end{matrix}\right.\)
Thế vào hệ điều kiện (1) kiểm tra chỉ có \(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=5\end{matrix}\right.\) thỏa mãn
b Tìm m để phương trình \(\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x+m+3=0\) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn \(x_1^2+x_1.x_2+x_2^2=1\)
c Tìm m để phương trình \(\left(m-1\right)x^2-2mx+m+2=0\) có hai nghiệm x1,x2 phân biệt thỏa mãn \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}+6=0\)
d Tìm m để phương trình \(3x^2+4\left(m-1\right)x+m^2-4m+1=0\) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\) (x1+x2)
b) phương trình có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2-\left(m-1\right)\left(m+3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m+1-m^2-3m+m+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow-4m+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow m\le1\)
Ta có: \(x_1^2+x_1x_2+x_2^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\)
Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[-2\left(m-1\right)^2\right]-2\left(m+3\right)=1\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m-6-1=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-10m-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{5+\sqrt{37}}{4}\left(ktm\right)\\m_2=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow m=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\)
bài 1: cho phương trình \(x^2-2\left(m+2\right)x+m-3=0\)
Tìm m sao cho
a)phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn \(\left(2x_1+1\right)\left(2x_2+1\right)=8\)
b)phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn\(P=x_1^2+x_2^2-3x_1x_2\) nhỏ nhất
a)
Ta có: \(\Delta=\left[-2\left(m+2\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m-3\right)\)
\(=\left(-2m-4\right)^2-4\left(m-3\right)\)
\(=4m^2+16m+16\ge0\forall x\)
Suy ra: Phương trình \(x^2-2\left(m+2\right)x+m-3=0\) luôn có nghiệm với mọi m
Áp dụng hệ thức Viet, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+2\right)=2m+4\\x_1\cdot x_2=m-3\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left(2x_1+1\right)\left(2x_2+1\right)=8\)
\(\Leftrightarrow4\cdot x_1x_2+2\cdot\left(x_1+x_2\right)+1=8\)
\(\Leftrightarrow4\left(m-3\right)+2\left(2m+4\right)+1=8\)
\(\Leftrightarrow4m-12+4m+8+1=8\)
\(\Leftrightarrow8m=8+12-8-1\)
\(\Leftrightarrow8m=11\)
hay \(m=\dfrac{11}{8}\)
Tiếp tục với bài của bạn Nguyễn Lê Phước Thịnh
b)
Ta có: \(x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2\)
\(\Rightarrow P=4m^2+11m+31=4m^2+2\cdot m\cdot\dfrac{11}{2}+\dfrac{121}{4}+\dfrac{3}{4}\) \(=\left(2m+\dfrac{11}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow2m+\dfrac{11}{2}=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{11}{4}\)
Vậy \(P_{Min}=\dfrac{3}{4}\) khi \(m=-\dfrac{11}{4}\)
cho phương trình \(x^2-6\left(m-1\right)x+9\left(m-3\right)=0\left(1\right)\)
a, giải phương trình (1) khi m=2
b, tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn \(x_1+x_2=2x_1.x_2\)
a. Khi m=2 thì (1) có dạng :
\(x^2-6\left(2-1\right)x+9\left(2-3\right)=0\\ \Leftrightarrow x^2-6x-9=0\\ \Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=18\Leftrightarrow x-3=\pm\sqrt{18}\\ \Leftrightarrow x=3\pm3\sqrt{2}\)
Vậy với m=2 thì tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{3\pm3\sqrt{2}\right\}\)
b. Coi (1) là phương trình bậc 2 ẩn x , ta có:
\(\text{Δ}'=\left(-3m+3\right)^2-1\cdot9\left(m-3\right)=9m^2-18m+9-9m+27\\ =9m^2-27m+36=\left(3m-\dfrac{9}{2}\right)^2+\dfrac{63}{4}>0\)
Nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=6\left(m-1\right)\\x_1x_2=9\left(m-3\right)\end{matrix}\right.\left(2\right)\)
Vì
\(x_1+x_2=2x_1x_2\\ \Leftrightarrow6\left(m-1\right)=18\left(m-3\right)\Leftrightarrow m-1=3m-9\\ \Leftrightarrow2m=8\Leftrightarrow m=4\)
Vậy m=4
b) Ta có: \(\text{Δ}=\left[-6\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot9\left(m-3\right)\)
\(=\left(6m-6\right)^2-36\left(m-3\right)\)
\(=36m^2-72m+36-36m+108\)
\(=36m^2-108m+144\)
\(=\left(6m\right)^2-2\cdot6m\cdot9+81+63\)
\(=\left(6m-9\right)^2+63>0\forall m\)
Suy ra: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=6\left(m-1\right)=6m-6\\x_1\cdot x_2=9\left(m-3\right)=9m-27\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(x_1+x_2=2x_1\cdot x_2\)
\(\Leftrightarrow6m-6=2\left(9m-27\right)\)
\(\Leftrightarrow6m-6-18m+54=0\)
\(\Leftrightarrow-12m+48=0\)
\(\Leftrightarrow-12m=-48\)
hay m=4
Vậy: m=4
Cho phương trình \(x^2+6x+6m-m^2=0\). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm \(x_1\), \(x_2\) thỏa mãn \(x_1^3-x_2^3+2x_1^2+12x_1+72=0\).
\(\Delta'=9-6m+m^2=\left(m-3\right)^2\ge0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) Pt luôn có nghiệm với mọi m
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-6\\x_1x_2=6m-m^2\end{matrix}\right.\)
Do \(x_1\) là nghiệm nên: \(x_1^2+6x_1+6m-m^2=0\Leftrightarrow2x_1^2+12x_1=2m^2-12\)
\(x_1^3-x_2^3+2x_1^2+12x_1+72=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right]+2m^2-12m+72=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(m^2-6m+36\right)+2m^2-12m+72=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2+2\right)\left(m^2-6m+36\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x_1-x_2+2=0\) (do \(m^2-6m+36=\left(m-3\right)^2+27>0;\forall m\))
Kết hợp với \(x_1+x_2=-6\) ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=-2\\x_1+x_2=-6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-4\\x_2=-2\end{matrix}\right.\)
Thế vào \(x_1x_2=6m-m^2\)
\(\Rightarrow8=6m-m^2\Rightarrow m^2-6m+8=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=4\end{matrix}\right.\)